در این مقاله، ارتعاشات تیر اویلر- برنولی با در نظر گرفتن بستر الاستیک غیرخطی، بررسی شده است. تیر تحت بارگذاری محوری فشاری بوده و شرایط تکیه گاهی، مفصلی- غلطکی می باشد. تحلیل ارتعاشات بر اساس مدهای نرمال غیرخطی در وضعیت رزونانس داخلی سه به یک (3:1) انجام می گیرد. معادله دیفرانسیلی غیرخطی حاکم بر ارتعاشات عرضی تیر استخراج شده و به کمک روش چند مقیاس زمانی، تحلیل شده است. در وضعیت رزونانس داخلی 3:1 بر اساس مدهای نرمال غیرخطی در حالت پایا، پایداری پاسخ فرکانسی ارتعاشات غیرخطی تیر مطالعه شده، سپس تاثیر تغییر پارامترهای مختلف بر روی نتایج تحلیل دینامیکی و تحلیل پایداری پاسخ فرکانسی ارتعاشات غیرخطی تیر بررسی شده است.

1کنترل ارتعاشات غیرفعال تیرهای غیرخطی چرخان به دلیل پتانسیل آن در کاهش ارتعاشات مضر در کاربردهای مختلف مهندسی، از جمله بخش های هوافضا و صنعتی، بسیار مهم است. این مطالعه بررسی می کند که چگونه پارامترهای مختلف سیستم و غیرخطی های ذاتی بر ارتعاشات یک تیر چرخان غیرخطی که تحت نیروهای خارجی متناوب قرار دارد، تأثیر می گذارند. یک جاذب انرژی غیرخطی (NES) به نوک تیر متصل شده تا ارتعاشات را کاهش دهد. سیستم با استفاده از نظریه تیر اویلر-برنولی و روابط کرنش-جابجایی فون کارمان مدل سازی شده و معادلات حرکت از طریق اصل همیلتون استخراج شده اند. روش میانگینگیری مختلط و رانگ-کوتا برای حل های تحلیلی و عددی به ترتیب اعمال شده اند. نتایج نشان می دهد که افزایش سختی، دامنه ارتعاش را کاهش می دهد، در حالی که افزایش ضریب غیرخطی رفتار سخت شوندگی را ایجاد می کند. سیستم تحت شرایط خاصی، انشعابات زینی و هاپف را نشان می دهد که نشان دهنده تاثیرات دینامیکی پیچیده است. این پدیده ها که توسط غیرخطی بودن تیر و NES هدایت می شوند، به طور مؤثری دامنه ارتعاش را کاهش می دهند و پاسخ های دینامیکی پیچیده سیستم و کارایی NES در کاهش ارتعاشات را برجسته می کنند.

در کار حاضر به تحلیل ارتعاشات یک تیر دوسرگیردار متصل به چاه غیرخطی انرژی (با فنر و دمپر غیرخطی) که تحت تحریک هارمونیک قرار دارد، پرداخته شده است. برای مدل کردن تیر از تئوری تیر اویلر-برنولی استفاده گردید و چاه غیرخطی انرژی نیز در مقاطع مختلف تیر وصل گردید و تاثیر پارامترهای مختلف بر روی رفتار دینامیک سیستم مورد تحلیل و بررسی قرار گیرند. همچنین شرایط لازم برای رخداد انشعابات هاپ و زین اسبی بررسی مطالعه شده است. از آنجا که در بررسی سیستم های ارتعاشاتی، به دست آوردن پاسخ فرکانسی به دلیل آن که بهترین محدوده کاهش ارتعاشات را نشان می دهد بسیار اهمیت دارد، روش متوسط گیری مختلط شونده برای حل سریع مسئله و یافتن پاسخ فرکانسی به کار گرفته شده است. از سوی دیگر برای صحه سنجی و مقایسه نتایج، از روش عددی (رانگ کوتای مرتبه چهارم) نیز استفاده شده است. نتایج نشان می دهند که با نزدیک شدن محل نصب جاذب به تکیه گاه ها، احتمال رخداد انشعاب هاپ و زین اسبی به ترتیب، کاهش و افزایش می یابد و ناحیه منفصل فرکانسی در محدوده کوچک تری از دامنه تحریک خارجی تشکیل خواهد شد و پاسخ گذرای سیستم مدت زمان طولانی تری خواهد داشت. همچنین با افزایش دامنه نیروی تحریک خارجی، دامنه ماندگار سیستم به آرامیافزایش می یابد.

تاثیر جاذب غیرخطی بر ارتعاشات پایای تیر یکسرگیردار تحت تحریک رزونانسی و غیررزونانسی بررسی شده است. پس از استخراج معادلات، بی بعدسازی و اعمال روش گالرکین، از روش مقیاس های چندگانه برای حل استفاده شده و تاثیر پارامترهای جاذب بر رفتار ارتعاشی سیستم مطالعه شده است. نتایج نشان می دهد در ناحیه پرش، تحت شرایط خاصی، امکان عملکرد بهتر جاذب غیرخطی در کاهش دامنه وجود دارد. همچنین، گرچه نتایج حاکی از عدم وجود تفاوت عمده در رفتار ارتعاشی سیستم در حضور جاذب های خطی نامیرا، میرا و غیرخطی در تحریکات غیررزونانسی است ولی جاذب غیرخطی باعث جابجایی فرکانس های تشدید و تغییر بازه ی فرکانسی غیررزونانسی می شود.

با توجه به حضور گسترده تیرها در سازه های مهندسی، درک چگونگی ارتعاشات غیرخطی تیرها در شرایطی که آن ها با دامنه زیاد نوسان می کنند، بسیار مفید است. در این مقاله ارتعاشات غیرخطی یک تیر اویلر برنولی تحت فرضیه تغییر شکل محدود بررسی شده است. در این پژوهش برخلاف دیگر مقالات، برای به دست آوردن معادلات حاکم بر حرکت تیر، رابطه میدان-جابجایی بدون تقریب و به صورت غیرخطی در نظر گرفته شده است. بر این اساس روابط کرنش-جابجایی با استفاده از رابطه گرین لاگرانژ محاسبه شده و با استفاده از روش همیلتون فرم غیرخطی معادلات به دست آمده است. به منظور حل معادله با مشتقات جزیی، با استفاده از روش گالرکین، معادله با مشتقات جزیی به یک معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل شده است و درنهایت با استفاده از روش مقیاس های چندگانه حل و با روش عددی مقایسه شده است. برای بررسی دقت روش و صحت سنجی مدل سازی، نتایج به دست آمده با مدل تیر اویلر برنولی خطی و مدل غیرخطی ون-کارمن مقایسه شده است. نتایج به دست آمده نشان می دهد با توجه به شکل متفاوت معادله دیفرانسیل به دست آمده در این روش نسبت به دیگر مدل های غیرخطی و خارج شدن شکل کلی آن نسبت به معادله دیفرانسیل دافینگ، پاسخ ارتعاشات سیستم در دامنه های ارتعاشی پایین منطبق با دیگر مدل های غیرخطی است ولی با افزایش دامنه نوسانات فرکانس نوسانات در مدل حاضر نسبت به مدل غیرخطی ون کار من کمتر می شود درحالیکه در دیگر مدل غیرخطی نسبت به مدل ون-کارمن، فرکانس بیشتر می شود.

در این تحقیق، یک مدل تحلیلیِ مناسب، جهت بررسی رفتار ارتعاشات غیرخطی روتورهای متقارن و نامتقارن تحت نیروهای ناهم محوری و نامیزانی جرمی در دستگاه مختصات دوار ارائه شده است. روتور موردنظر با اتصال ناهم محور به یک موتور متصل گردیده است. برای تحلیل ارتعاشیِ دقیق تر، از تئوری تیر تیموشنکو و جهت مدل سازی نیروی ناهم محوری، از معادلات گیبنز استفاده شده است. با بکارگیری روش ریلی_ریتز، متغیرهای مکانی و زمانیِ روابط انرژی از یکدیگر جدا شده و سپس با بهره گیری از اصل همیلتون، معادلات حرکت بدست آمده اند. با بررسی های دقیقی که در این تحقیق انجام گرفته، نشان داده شد که روتورهای نامتقارن برخلاف روتورهای متقارن، در یک محدوده فرکانسی، ناپایدار می شوند. همچنین مقایسه رفتار دینامیکی دو روتور متقارن و نامتقارن در یک فرکانس کاری انجام گرفته تا اثر پارامترهای مختلف بطور مشخص، برای دو روتور دیده شود. جهت بررسی بهتر، ابتدا پاسخ ارتعاشی آنها در حوزه زمان رسم گردید و سپس با گرفتن تبدیل فوریه سریع، پاسخ ها به حوزه فرکانس برده شده تا با مشخص شدن فرکانس های ارتعاشات روتورها، بتوان اثر پارامترهای مختلف را به خوبی مشاهده کرد. بطور کلی در این مطالعه، تاثیر هرکدام از عیوب نامتقارنی شافت، نیروی ناهم محوری، نامیزانی جرمی و همچنین ترم های غیرخطی، روی رفتار دینامیکی روتور، کاملا بررسی گردیده است.

موضوع ترم های الاستیک جدید ظاهر شده در مدل دینامیکی غیرخطی تیراویلر-برنولی سه بعدی غیرخطی ارتقا یافته، مورد بحث قرار گرفته است. هنگامی که گرایش الاستیک سطح مقطع ناچیز است، مدل دینامیکی غیرخطی حاکم بر کشش-فشار، پیچش و دو خمش فضایی ارایه شده است. با توجه به این مدل، ترم های الاستیک جدیدی را می توان در تغییرات انرژی پتانسیل الاستیک، در دو معادله حرکت خمشی و در نیروهای برشی عرضی شناسایی کرد. به دلیل وجود ترم های جدید، هر ترم معادله خمش و نیروی برشی عرضی ترم نظیری در معادله خمش دیگر و نیروی برشی عرضی دیگر پیدا می کند، ولی معادلات نامتقارن باقی می مانند. ترم های جدید به این دلیل ایجاد شده اند که تغییرات کرنش و تغییرات انرژی پتانسیل الاستیک با استفاده از کرنش های دقیق و تغییر شکل های دقیق که مرتبط با گرایش الاستیک بزرگ می باشند به دست آمده و سپس از گرایش الاستیک سطح مقطع صرف نظر شده است. این ترم های جدید در تئوری تیر اویلر-برنولی سه بعدی غیرخطی از بین می روند، زیرا ابتدا از گرایش الاستیک سطح مقطع صرف نظر شده و سپس تغییرات کرنش و تغییرات انرژی پتانسیل الاستیک از کرنش های تقریبی حاصل می شوند.

ارتعاشات سازه یک منبع مهم برای برداشت انرژی است که می تواند با تحریک هارمونیک حاصل شود. رفتار سازه پیزوالکتریک با جفت شدگی بین پارامترهای الکتریکی و مکانیکی مدل می شود. این مدل می تواند به صورت تیر انعطاف پذیری باشد که در آن کرنش های بزرگ ایجاد می شود. کرنش ها و تغییر شکل چرخشی بزرگ در رفتار سازه غیرخطی باعث می شود که نتایج حاصل از تئوری خطی مناسب و قابل قبول نباشند و در این حالت باید از تئوری غیرخطی استفاده شود. برای حل معادلات حرکت و کوپل بین معادلات از روش نیومارک استفاده می شود. با درنظرگرفتن نوع میرایی تناسبی اثر سختی غیرخطی نیز در محاسبه میرایی اعمال شود. در این تحقیق، راستی آزمایی نتایج روش عددی اجزا محدود با روش تجربی برای بررسی پاسخ تیر نمونه غیرخطی پیزوالکتریک با تحریک هارمونیک ارایه می شود. برای بررسی نتایج در روش عددی، برنامه اجزای محدود توسعه داده شده و پاسخ الکتریکی تیر غیرخطی پیزوالکتریک حاصل می شود. اجرای آزمایش روی تیر پیزوالکتریک دوشکلی با وجود جرم متمرکز و جابه جایی آن در طول تیر تحت تحریک بار هارمونیک و مقایسه نتایج عددی با نتایج آزمایش صورت می گیرد. نتایج حاصله تاثیر خصوصیت پیزوالکتریک در پاسخ فرکانسی تیر غیرخطی و اثر موقعیت جرم متمرکز در ولتاژ خروجی را نشان داده و مناسب ترین حالت موقعیت جرم متمرکز برای حصول بیشترین پاسخ ولتاژ ارایه می شود.